问题
解答题
| 已知抛物线y2=4x，过点M（0，2）的直线l与抛物线交于A，B两点，且直线l与x轴交于点C． （1）若以A，B为直径的圆经过坐标原点，求此时的直线l的方程； （2）求证：|MA|，|MC|，|MB|成等比数列； （3）设
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答案
（1）设l的方程为y=kx+2（k≠0）与抛物线y2=4x联立，可得k2x2+（4k-4）x+4=0
由△＞0，k≠0，可得k＜
且k≠01 2
设点A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=-
①，x1x2=4k-4 k2
②4 k2
∵以A，B为直径的圆经过坐标原点，
∴x1x2+y1y2=0
∴（1+k2）x1x2+2k（x1+x2）+4=0
∴
=04+8k k2
∴k=-1 2
∴此时的直线l的方程为x+2y-4=0；
（2）证明：∵|MA||MB|=
|x1-0|•1+k2
|x2-0|=1+k2 4(1+k2) k2
|MC|2=(
|-1+k2
-0|)2=2 k 4(1+k2) k2
∴|MC|2=|MA||MB|≠0
∴|MA|，|MC|，|MB|成等比数列；
（3）由
=αMA
，AC
=βMB
，得α=BC
，β=-kx1 kx1+2 -kx2 kx2+2
∴α+β=-2k2x1x2-2k(x1+x2) k2x1x2+2k(x1+x2)+4
把①②代入，可得α+β=-1，即α+β为定值-1．