问题
解答题
设x，y∈R，
（Ⅰ）求动点M（x，y）的轨迹C的方程； （Ⅱ）设曲线C上两点AB，满足（1）直线AB过点（0，3），（2）若
|
答案
（Ⅰ）令M（x，y），F1（0，-2），F2（0，2）
则
=a
，F1M
=b F2M
即|
|+|a
|=|b
|+|F1M
|F2M
即|
|+|F1M
|=8F2M
又∵|
|=4=2CF1F2
∴c=2，a=4，b2=12（3分）
所求轨迹方程为
+y2 16
=1（6分）x2 12
（Ⅱ）由条件（2）可知OAB不共线，故直线AB的斜率存在
设AB方程为y=kx+3，A（x1，y1），B（x2，y2）
则
⇒（3k2+4）x2+18kx-21=0（8分）y=kx+3
+y2 16
=1x2 9
x1+x2=-
，x1•x2=-18k 3k2+4 -21 3k2+4
y1•y2=（kx1+3）•（kx2+3）=k2x1•x2+3k（x1+x2）+9=36-48k2 3k2+4
∵OAPB为矩形，∴OA⊥OB⇒
•OA
=0（10分）OB
∴x1•x2+y1•y2=0得k=±5 4
所求直线方程为y=±
x+3（12分）5 4