问题
解答题
设函数f（x）=ax2-bx+1（a，b∈R），F(x)=
（Ⅰ）若f（1）=0且对任意实数均有f（x）≥0恒成立，求F（x）表达式； （Ⅱ）在（1）在条件下，当x∈[-3，3]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围； （Ⅲ）设mn＜0，m+n＞0，a＞0且f（x）为偶函数，证明F（m）＞-F（n）． |
答案
（Ⅰ）∵f（1）=0，∴b=a+1，（1分）
由于f（x）≥0恒成立，即ax2-bx+1≥0恒成立，
当a=0时，b=1，此时，f（x）=-x+1与f（x）≥0恒成立矛盾．
当a≠0时，由△=（-b）2-4a=（a+1）2-4a=（a-1）2≤0，得a=1，b=2…（3分）
从而f（x）=x2-2x+1，
∴F(x)=
（4分）(x-1)2，(x＞0) -(x-1)2，(x＜0)
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=x2-2x+1
∴g（x）=f（x）-kx=x2-（2+k）x+1，其对称为x=k+2 2
由g（x）在x∈[-3，3]上是单调函数知：
≥3或k+2 2
≤-3，k+2 2
解得k≥4或k≤-8（8分）
证明：（Ⅲ）∵f（x）是偶函数，
∴由f（-x）=f（x）得b=0，
故f（x）=ax2+1，F(x)=ax2+1，x＞0 -(ax2+1)，x＜0
∵a＞0，∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，（9分）
对于F（x），当x＞0时，-x＜0，F（-x）=-f（-x）=-f（x）=-F（x）
当x＜0时，-x＞0，F（-x）=f（-x）=f（x）=-F（x）
∴F（x）是奇函数，且F（x）在[0，+∞）上为增函数．（11分）
∵mn＜0，
∴m，n异号，
（1）当m＞0，n＜0时，由m+n＞0得m＞-n＞0，
∴F（m）＞F（-n）=-F（n）
（2）当m＜0，n＞0时，由m+n＞0得n＞-m＞0，
∴F（n）＞F（-m）=-F（m）
即F（m）＞-F（n）
综上可知F（m）＞-F（n）（14分）