问题
解答题
已知抛物线C：y2=12x，点M（-1，0），过M的直线l交抛物线C于A，B两点．
（Ⅰ）若线段AB中点的横坐标等于2，求直线l的斜率；
（Ⅱ）设点A关于x轴的对称点为A′，求证：直线A′B过定点．
答案
（Ⅰ）设过点M（-1，0）的直线方程为y=k（x+1），
由
得k2x2+（2k2-12）x+k2=0．…（2分）y=k(x+1) y2=12x
因为k2≠0，且△=（2k2-12）2-4k4=144-48k2＞0，
所以，k∈(-
，0)∪(0，3
)．…（3分）3
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=
，x1x2=1．…（5分）12-2k2 k2
因为线段AB中点的横坐标等于2，所以
=x1+x2 2
=2，…（6分）6-k2 k2
解得k=±
，符合题意．…（7分）2
（Ⅱ）证明：依题意A'（x1，-y1），直线A′B：y-y2=
(x-x2)，…（8分）y2+y1 x2-x1
又
=12x1，y 21
=12x2，y 22
所以y=
(x-x2)+y2，…（9分）=12 y2-y1
x-12 y2-y1
…（10分）y1y2 y2-y1
因为y 21
=144x1x2=144，且y1，y2同号，所以y 22 y 1
=12，…（11分）y 2
所以y=
(x-1)，…（12分）12 y2-y1
所以，直线A'B恒过定点（1，0）．…（13分）