问题
解答题
已知函数f（x）=（x-1）2，g（x）=4（x-1），数列{an}是各项均不为0的等差数列，点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上；数列{bn}满足b1=2，bn≠1，且(bn-bn+1)•g(bn)=f(
（I）求an并证明数列{bn-1}是等比数列； （II）若数列{cn}满足cn=
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答案
（I）因为点（an+1，S2n-1）在函数f（x）的图象上，所以an2=S2n-1，
令n=1，n=2，可得a12=S1，a22=S3，
∴a12=a1，(a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1，d=2（d=-1舍去）
∴an=2n-1；
∵(bn-bn+1)•g(bn)=f(
)(n∈N*)b n
∴4(bn-bn+1)•(bn-1)=(bn-1)2(n∈N*)
∴
=bn+1-1 bn-1 3 4
∴数列{bn-1}是以1为首项，
为公比的等比数列；3 4
（II）证明：由上知bn-1=(
)n-13 4
∴cn=
=an 4n-1•(bn-1) 2n-1 3n-1
令Tn=c1+c2+c3+…+cn，
则Tn=
+1 30
+…+3 31
①2n-1 3n-1
∴
Tn=1 3
+1 31
+…+3 32
+2n-3 3n-1
②2n-1 3n
①-②得
Tn=2 3
+1 30
+2 31
+…+2 32
-2 3n-1
2-2n-1 3n 2(n+1) 3n
∴Tn=3-
＜3n+1 3n-1
即c1+c2+c3+…+cn＜3．