问题
解答题
如图，△OBC的在个顶点坐标分别为（0，0）、（1，0）、（0，2），设P为线段BC的中点，P为线段CO的中点，P3为线段OP1的中点，对于每一个正整数n，Pn+3为线段PnPn+1的中点，令Pn的坐标为（xn，yn），an=
（Ⅰ）求a1，a2，a3及an； （Ⅱ）证明yn+4=1-
（Ⅲ）若记bn=y4n+4-y4n，n∈N*，证明{bn}是等比数列． |
答案
（Ⅰ）因为y1=y2=y4=1，y3=
，y5=1 2
，3 4
所以a1=a2=a3=2，又由题意可知yn-3=yn+yn+1 2
∴an+1=
y n+1+yn+2+yn+31 2
=
yn+1+yn+2+1 2 y n+yn+1 2
=
yn+yn+1+yn+2=an，1 2
∴{an}为常数列
∴an=a1=2，n∈N*．
（Ⅱ）将等式
yn+yn+1+yn+2=2两边除以2，得1 2
yn+1 4
=1，yn+1+yn+2 2
又∵yn+4=y n+1+yn+2 2
∴yn+4=1-
.yn 4
（Ⅲ）∵bn-1=y4n+3-y4n+4=(1-
)-(1-y4n+4 4
)y4n 4
=-
(y4n+4-y4n)1 4
=-
bn，1 4
又∵b1=y3-y4=-
≠0，1 4
∴{bn}是公比为-
的等比数列．1 4