问题
解答题
| （理科）一动圆过定点P（0，1），且与定直线l：y=-1相切． （1）求动圆圆心C的轨迹方程； （2）若（1）中的轨迹上两动点记为A（x1，y1），B（x2，y2），且x1x2=-16． ①求证：直线AB过一定点，并求该定点坐标； ②求
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答案
（1）由已知可得：点C到P的距离与到定直线l的距离相等．
所以圆心C的轨迹是以p为焦点，定直线l为准线的抛物线，
∴所求抛物线的方程为：x2=4y．
（2）①设AB：y=kx+b，由
，消去y得：x2-4kx-4b=0．y=kx+b x2=4y
∴x1+x2=4k．x1x2=-4b，∵x1x2=-16，
∴b=4，∴直线AB过定点（0，4）．
②由抛物线的定义可知：|PA|=y1+1，|PB|=y2+1，
∴
+1 |PA|
=1 |PB|
+1 y1+1
=1 y2+1 y1+y2+2 y1y2+y1+y2+1
y1=kx1+4，y2=kx2+4，x1+x2=4k．x1x2=-16，
+1 |PA|
=1 |PB|
=k(x1+x2)+10 k2x1x2+5k(x1+x2)+25
=1-4k2+10 4k2+25
∈[15 4k2+25
，1)，2 5
∴所求
+1 |PA|
的取值范围是[1 |PB|
，1)．2 5