问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N*，b∈N，c∈Z．
（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；
（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．
答案
（1）据题意x∈[-1，1]时，f（x）max=2，f（x）min=-4，（1分）
f(x)=a(x+
)2+c-b 2a
，b2 4a
∵b＞2a＞0，∴-
＜-1，b 2a
∴f（x）在[-1，1]上递增，
∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），（3分）
∴
，∴b=3，a+c=-1，（5分）a+b+c=2 a-b+c=-4
∵b＞2a，∴a＜
，又a∈N*，∴a=1，∴c=-2，（7分）3 2
∴f(x)=x2+3x-2=(x+
)2-3 2
，17 4
∴f(x)min=-
．（8分）17 4
（2）由已知得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）
∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，
∴△=（b-4）2-4ac≤0②，（11分）
由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，（13分）
由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，
若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），
不存在x0使f（x0）＜2（x02+1），与题意矛盾，（15分）
∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N*，
∴a=1，c=1．（16分）