已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a1，b1]时，f（x）的值域为[a2，b2

问题解答题

已知函数f（x）=ax+b，当x∈[a₁，b₁]时，f（x）的值域为[a₂，b₂]，当x∈[a₂，b₂]时，f（x）的值域为[a₃，b₃]，…当x∈[a_n-1，b_n-1]时，f（x）的值域为[a_n，b_n]，其中a，b为常数，a₁=0，b₁=1．

（Ⅰ）a=1时，求数列{a_n}与{b_n}的通项；

（Ⅱ）设a＞0且a≠1，若数列{b_n}是公比不为1的等比数列，求b的值；

（Ⅲ）若a＞0，设{a_n}与{b_n}的前n项和分别记为S_n与T_n，求（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）的值．

答案

（I）∵a=1，∴函数f（x）=ax+b在R上是增函数，

∴a_n=a•a_n-1+b=a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b=b_n-1+b，（n≥2），

则数列{a_n}与{b_n}都是公差为b的等差数列，

∵a₁=0，b₁=1，∴a_n=（n-1）b，b_n=1+（n-1）b．

（Ⅱ）∵a＞0，b_n=a•b_n-1+b，

∴

bn-1

=a+

bn-1

；

由{b_n}是等比数列，知

bn-1

应为常数．

{b_n}是公比不为1的等比数列，则b_n-1不是常数，

必有b=0．

（Ⅲ）∵a＞0，a_n=a•a_n-1+b，b_n=a•b_n-1+b，

两式相减，得b_n-a_n=a（b_n-1-a_n-1），

∴{b_n-a_n}成等比数列，公比为a，b₁-a₁=1，

∴b_n-a_n=a^n-1．

T_n-S_n=（b₁+b₂+…+b_n）-（a₁+a₂+…+a_n）=（b₁-a₁）+（b₂-a₂）+…+（b_n-a_n）=

n(a=1)

1-an

1-a

(a＞0，a≠1)

∴（T₁+T₁+…+T_n）-（S₁+S₂+…+S_n）=（T₁-S₁）+（T₂-S₂）+…+（T_n-S_n）=

n(n+1)

(a=1)

an+1-(n+1)a+n

(1-a)2

(a≠1)