问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件：f（2）=0，且方程f（x）=x有两个相等的实数根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数在区间[-3，3]上的最大值和最小值；
（3）是否存在实数m，n（m＜n），使f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，如果存在，求出m，n的值，如不存在，请说明理由．
答案
（1）∵f（2）=0∴4a+2b=0 ①
又方程f（x）=x有等根，即ax2+bx-x=0的判别式为零
∴（b-1）2=0
∴b=1
代入①a=-1 2
∴f（x）=-
x2+x1 2
（2）f(x)=-
(x-1)2+1 2 1 2
∴函数的对称轴为x=1
∴当x=1时，函数取得最大值为f(1)=
；1 2
当x=-3时，函数取得最小值为f(-3)=-
； 15 2
（3）∵f(x)=-
(x-1)2+1 2
≤1 2
，f（x）的定义域和值域分别为[m，n]和[2m，2n]，1 2
∴2n≤1 2
∴n≤1 4
而f（x）=-
x2+x的对称轴为x=1，1 2
∴当n≤
时，f（x）在[m，n]上为增函数．1 4
若满足题设条件的m，n存在，则f(m)=2m f(n)=2n
即-m2+2m=4m -n2+2n=4n
∴m=0或m=-2 n=0或n=-2
∵m＜n≤
．1 4
∴m=-2，n=0，这时，定义域为[-2，0]，值域为[-4，0]．
由以上知满足条件的m，n存在，m=-2，n=0．