（1）证明：

an+1+(n+1)

an+n

=

2an+n-1+(n+1)

an+n

=

2an+2n

an+n

=2，n∈N^*

又a1+1=-

1

2

+1=

1

2

，

所以数列{a_n+n}是首项为

1

2

，且公比为2的等比数列

（2）

由（1）可知a_n+n=

1

2

×2^n-1=2^n-2

于是数列{a_n}的通项公式为a_n=2^n-2-n

所以数列{a_n}的前n项和Sn=

1 2 (1-2n)

1-2

-

(1+n)n

2

=2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

（3）对任意的n∈N^*，S_n+1-S_n=(2n-

(n+1)(n+2)

2

-

1

2

)-(2n-1-

n(n+1)

2

-

1

2

)=2^n-1-（n+1）

n=1时，2^n-1-（n+1）=-1＜0  所以S₂＜S₁    

n=2时，2^n-1-（n+1）=-1＜0    所以S₃＜S₂

n=3时，2^n-1-（n+1）=0        所以S₄=S₃

n=4时，2^n-1-（n+1）=3＞0      所以S₅＞S₄

猜想“n∈N^*，且n≥4时，2^n-1＞（n+1）”

下面用数学归纳法证明：

①当n=4时，已证

②假设当n=k（k≥4）时，命题成立，即2^k-1＞（k+1）

那么当n=k+1时，2^k=2×2^k-1＞2（k+1）=（k+2）+k＞k+2=（k+1）+1

这就是说，当n=k+1时，命题也成立

根据①和②，可知当n∈N^*且n≥4时，不等式2^n-1＞（n+1）都成立

综上S₁＞S₂＞S₃=S₄＜S₅＜S₆＜＜S_n＜S_n+1＜

所以当n=3，n=4时，S_n取到最小值：-

5

2