（1）∵椭圆C₂的离心率为

1

2

，长半轴长为2，∴

3

，

∵物线C₁：y²=4mx（m＞0）的焦点为椭圆右焦点，∴

p

2

=1，∴抛物线方程y2=4x

（2）由（1）可知，椭圆方程为

x2

4

+

y2

3

=1，所以△PF₁F₂的周长为2a+2c=6．

①当直线l斜率存在时，设直线方程为y=k（x-1），代入y2=4x，得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，

∴x₁+x₂=2+

4

k2

，x₁x₂=1，

∴|A₁A₂|=

1+k2

|x1-x2|=

4

k4

+

8

k2

-5=0，解得，k=±

2

．

②当直线l斜率不存在时，A1点坐标为（1，

3

2

）A2（1，-

3

2

），∴|A₁A₂|=2

3

≠6，不成立．

综上，直线l的斜率为±

2

．

（3）由题意可知，椭圆中c=m．椭圆C₂离心率为

1

2

，∴a=2c．

∴椭圆方程为

x2

4m2

+

y2

3m2

=1由，

x2 4m2 + y2 3m2 =1 y2=4mx

得P点横坐标为

2

3

m，在椭圆中，|PF₁|+|PF₂|=2a=4m，

|F₁F₂|=2m，∴|PF₂|，|F₁F₂|，|PF₁|成等差数列，

假设存在实数m，使得△PF₁F₂的边长是连续的自然数，则PF₂|=|F₁F₂|-1=2m-1，又因为P在抛物线上，

∴|F₁F₂|=

2

3

m+m，∴m=3