问题
解答题
| 以100元/件的价格购进一批羊毛衫，以高于进价的相同价格出售．羊毛衫的销售有淡季与旺季之分．标价越高，购买人数越少．我们称刚好无人购买时的最低标价为羊毛衫的最高价格．某商场经销某品牌的羊毛衫，无论销售淡季还是旺季，进货价都是100/件．针对该品牌羊毛衫的市场调查显示： ①购买该品牌羊毛衫的人数是标价的一次函数； ②该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格是淡季最高价格的
③在销售旺季，商场以140元/件价格销售时能获取最大利润． （I）分别求该品牌羊毛衫销售旺季的最高价格与淡季最高价格； （II）问：在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为多少． |
答案
（I）设在旺季销售时，羊毛衫的标价为x元/件，购买人数为kx+b（k＜0），
则旺季的最高价格为-
元/件，利润函b k
L（x）=（x-100）•（kx+b）=kx2-（100k-b）-100b，x∈[100，-
]，b k
当x=
=50-100k-b 2k
时，L（x）最大，由题意知，50-b 2k
=140，解得-b 2k
=180，b k
即旺季的最高价格是180（元/件），则淡季的最高价格是180×
=120（元/件）．2 3
（II）现设淡季销售时，羊毛衫的标价为t元/件，购买人数为mt+n（m＜0），
则淡季的最高价格为-
=120（元/件），即n=-120m，n m
利润函数L（t）=（t-100）•（mt+n）=（t-100）•（mt-120m）
=-m（t-100）•（120-t），t∈[100，120]．
∴t-100=120-t，即t=110时，L（t）为最大，
∴在淡季销售时，商场要获取最大利润，羊毛衫的标价应定为110元/件．