已知数列{an}的前n项和为sn，且a1=1，nan+1=（n+2）sn（n∈N

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为s_n，且a₁=1，na_n+1=（n+2）s_n （n∈N^*）．
（1）求证：数列{

}为等比数列；
（2）求数列{a_n}的通项公式及前n项和s_n；
（3）若数列{b_n}满足：b₁=

，

bn+1

n+1

bn+sn

（n∈N^*），求数列{b_n}的通项公式．

答案

（1）证明：将a_n+1=S_n+1-S_n代入已知na_n+1=（n+2）S_n；

整理得

sn+1

n+1

=2•

（n∈N^•）．

又由已知

=1，

所以数列{

}是首项为1，公比为2的等比数列．

（2）由（1）的结论可得

=2^n-1，∴Sn=n•2^n-1

当n≥2时，

a_n=S_n-S_n-1=n•2^n-1-（n-1）•2^n-2=（n+1）•2^n-2

由已知，a₁=1，又当n=1时，（n+1）•2^n-2=1，

∴a_n=（n+1）•2^n-1（n∈N^*）．

（3）由

bn+1

n+1

bn+sn

（n∈N^*）．

得

bn+1

n+1

+2^n-1，

由此式可得

bn-1

n-1

+2n-2，

bn-1

n-1

bn-2

n-2

+2n-3，

…

+21，

+20

把以上各等式相加得，

=b1+2+22+…+2n-2=2n-1-

（n∈N^*，n≥2）．

所以b_n=n2n-1-

n（n∈N^*，n≥2）．

当n=1时也符合，所以b_n=n2n-1-

n．