设椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）以F1、F2为左、右焦点，离心率

问题解答题

设椭圆C₁：

=1（a＞b＞0）以F₁、F₂为左、右焦点，离心率e=

，一个短轴的端点（0，

）；抛物线C₂：y²=4mx（m＞0），焦点为F₂，椭圆C₁与抛物线C₂的一个交点为P．
（1）求椭圆C₁与抛物线C₂的方程；
（2）直线l经过椭圆C₁的右焦点F₂与抛物线C₂交于A₁，A₂两点，如果弦长|A₁A₂|等于△PF₁F₂的周长，求直线l的斜率．

答案

（1）由椭圆的离心率e=

，得

a2-b2

，∴a2=

b2．

又b=

，∴a²=4，则a=2，c=1．

∴椭圆C₁的方程为：

=1．

抛物线C₂的焦点为（1，0），∴m=1，则抛物线方程为：y²=4x；

（2）由于△PF₁F₂周长为 2a+2c=6，故弦长|A₁A₂|=6，

设直线l的斜率为k，则直线l的方程为 y-0=k（x-1），

代入抛物线C₂：y²=4x，化简得k²x²-（2k²+4）x+k²=0，

∴x1+x2=

2k2+4

，x1x2=1，

∴|A₁A₂|=

1+k2

•

(x1+x2)2-4x1x2

(1+k2)[(

2k2+4

)2-4]

=6，解得：k=±

．

故直线l的斜率为：±

．