解（1）∵f（1）=0，

∴b=a+1（1分）

∵对任意实数x均有f（x）≥0恒成立，

即对任意实数x均有ax²-bx+1≥0恒成立（2分）

当a=0时，b=1，这时，f（x）=-x+1，它不满足f（x）≥0恒成立（3分）

当a≠0时，则a＞0且△=（-b）²-4a=（a+1）²-4a=（a-1）²≤0

∴a=1，b=2（4分）

从而f（x）=x²-2x+1，

∴F(x)=

(x-1)2，x＞0 -(x-1)2，x＜0

（5分）

（2）由（1）知f（x）=x²-2x+1

∴g（x）=f（x）-kx=x²-（2+k）x+1=(x-

k+2

2

)2-

1

4

k2-k（6分）

∵g（x）=f（x）-kx在区间[-3，3]是单调函数

∴

k+2

2

≤3或

k+2

2

≥3，

即k≤-8或k≥4

∴k的取值范围是（-∞，-8]∪[4，+∞）（7分）

（3）∵f（x）是偶函数，

∴b=0（8分）

故f（x）=ax²+1，

∴F(x)=

ax2+1，x＞0 -ax2-1，x＜0

    （9分）

∵a＞0，

∴当x＞0时f（x）＞0

∵m+n＞0，

∴m，n中至少有一个正数，即m，n都是正数或一个正数，一个负数

若m，n都是正数，则F（m）＞0，F（n）＞0，所以F（m）+F（n）＞0（10分）

若m，n一个正数，一个负数，不妨设m＞，n＜0，又m+n＞0

则F（m）+F（n）=am²+1-（an²+1）=a（m+n）（m-n）＞0（11分）

综上可得，F（m）+F（n）＞0．（12分）