问题
解答题
| 定义：若函数f（x）对于其定义域内的某一数x0，有 f （x0）=x0，则称x0是f （x）的一个不动点．已知函数f（x）=ax2+（b+1）x+b-1 （a≠0）． （Ⅰ）当a=1，b=-2时，求函数f（x）的不动点； （Ⅱ）若对任意的实数b，函数f（x）恒有两个不动点，求a的取值范围； （Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若y=f（x）图象上两个点A、B的横坐标是函数f（x）的不动点，且A、B两点关于直线y=kx+
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答案
（Ⅰ）当a=1，b=-2时，有f （x）=x2-x-3，
令x2-x-3=x，化简得：x2-2x-3=0，
解得：x1=-1，或x2=3
故所求的不动点为-1或3．（4分）
（Ⅱ）令ax2+（b+1）x+b-1=x，则ax2+bx+b-1=0①
由题意，方程①恒有两个不等实根，所以△=b2-4a（b-1）＞0，
即b2-4ab+4a＞0恒成立，（6分）
整理得b2-4ab+4a=（b-2a）2+4a-4a2＞0，
故4a-4a2＞0，即0＜a＜1（8分）
（Ⅲ）设A（x1，x1），B（x2，x2）（x1≠x2），则kAB=1，∴k=-1，
所以y=-x+
，（9分）a 5a2-4a+1
又AB的中点在该直线上，所以
=-x1+x2 2
+x1+x2 2
，a 5a2-4a+1
∴x1+x2=
，a 5a2-4a+1
而x1、x2应是方程①的两个根，所以x1+x2=-
，即-b a
=b a
，a 5a2-4a+1
∴b=-
（12分）a2 5a2-4a+1
=-
=1 (
)2-4(1 a
)+51 a 1 (
-2)2+11 a
∴当a=
∈（0，1）时，bmin=-1．（14分）1 2