问题
解答题
已知点P1（a1，b1），P2（a2，b2），…，Pn（an，bn）（n为正整数）都在函数y=(
（Ⅰ）若数列{an}是等差数列，证明：数列{bn}是等比数列； （Ⅱ）设an=n（n为正整数），过点Pn，Pn+1的直线与两坐标轴所围成的三角形面积为cn，试求最小的实数t，使cn≤t对一切正整数n恒成立； （Ⅲ）对（Ⅱ）中的数列{an}，对每个正整数k，在ak与ak+1之间插入3k-1个3，得到一个新的数列{dn}，设Sn是数列{dn}的前n项和，试探究2008是否数列{Sn}中的某一项，写出你探究得到的结论并给出证明． |
答案
（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，由已知bn=(
)an，1 2
所以，
=(bn+1 bn
)an+1-an=(1 2
)d（常数），1 2
所以，数列{bn}是等比数列．
（Ⅱ）若an=n，则bn=(
)n，1 2
∴Pn(n，(
)n)，Pn+1(n+1，(1 2
)n+1)，kPnPn+1=1 2
=-((
)n+1-(1 2
)n1 2 (n+1)-n
)n+1，1 2
直线PnPn+1的方程为y-(
)n=-(1 2
)n+1(x-n)，1 2
它与x轴，y轴分别交于点An（n+2，0），Bn(0，
)，n+2 2n+1
∴cn=
•|OAn|•|OBn|=1 2
，(n+2)2 2n+2
cn-cn+1=
-(n+2)2 2n+2
=(n+3)2 2n+3
＞0，n2+2n-1 2n+3
∴数列{cn}随n增大而减小，
∴cn≤c1=
，即最小的实数t的值为9 8
．9 8
（Ⅲ）∵an=n，∴数列{dn}中，从第一项a1开始到ak为止（含ak项）的所有项的和是：
（1+2+…+k）+（31+32+…+3k-1）=
+k(k+1) 2
，3k-3 2
当k=7时，其和是28+
=1120＜2008，37-3 2
而当k=8时，其和是36+
=3315＞2008．38-3 2
又因为2008-1120=888=296×3，是3的倍数，
所以存在自然数m，使Sm=2008．
此时m=7+（1+3+32+…+35）+296=667．