问题 解答题

设数列{an}的前n项和为Sn=2an-2n

(Ⅰ)求a1,a4

(Ⅱ)证明:{an+1-2an}是等比数列;

(Ⅲ)求{an}的通项公式.

答案

(Ⅰ)因为a1=S1,2a1=S1+2,所以a1=2,S1=2

由2an=Sn+2n知2an+1=Sn+1+2n+1=an+1+Sn+2n+1

得an+1=sn+2n+1

所以a2=S1+22=2+22=6,S2=8a3=S2+23=8+23=16,S2=24a4=S3+24=40

(Ⅱ)由题设和①式知an+1-2an=(Sn+2n+1)-(Sn+2n)=2n+1-2n=2n

所以{an+1-2an}是首项为2,公比为2的等比数列.

(Ⅲ)an=(an-2an-1)+2(an-1-2an-2)++2n-2(a2-2a1)+2n-1a1=(n+1)•2n-1

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