问题 解答题
已知中心在原点,焦点在x轴上的椭圆焦距为2,离心率为
1
2

(1)求椭圆的标准方程
(2)若直线l过点(1,2)且倾斜角为45°且与椭圆相交于A,B两点,求弦长|AB|.
答案

(1)∵焦点在x轴上的椭圆焦距为2,离心率为

1
2

∴c=1,

c
a
=
1
2

∴a=2,

∴b2=a2-c2=3,

∴所求椭圆方程为

x2
4
+
y2
3
=1;

(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则

∵直线l过点(1,2)且倾斜角为45°,

∴直线l的方程为y=x+1,

代入椭圆方程,消去y可得7x2+8x-8=0,

∴x1+x2=-

8
7
,x1x2=-
8
7

∴|x1-x2|=

(
8
7
)2+4•
8
7
=
12
2
7

因此,|AB|=

2
•|x1-x2|=
24
7

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