问题
解答题
已知数列{an}的前n项和为{Sn}，又有数列{bn}满足关系b1=a1，对n∈N*，有an+Sn=n，bn+1=an+1-an
（1）求证：{bn}是等比数列，并写出它的通项公式；
（2）是否存在常数c，使得数列{Sn+cn+1}为等比数列？若存在，求出c的值；若不存在，说明理由．
答案
（1）由an+Sn=n⇒a1+S1=1⇒a1=
，又1 2
（3分）
⇒2an+1=an+1an+1+Sn+1=n+1 an+Sn=n
∴
=bn+1 bn
=an+1-an an-an-1
=
-anan+1 2 an-(2an-1)
，1 2
∴数列{bn}为等比数列，且bn=(
)n（6分）1 2
（2）an+bn=an+an-an-1=2an-an-1，∴an+bn=1⇒an=1-(
)n（8分）1 2
∴Sn=n-an=n-1+(
)n⇒Sn-n+1=(1 2
)n（10分）1 2
依题意，存在c=-1，使得数列{Sn+cn+1}为等比数列． （12分）