（1）由题意可得，a=

2

，

∵e=

2

2

，∴c=1，（2分）

∴b²=a²-c²=1，（3分）

所以椭圆的方程为

x2

2

+y2=1．（4分）

（2）设C（x，y），P（x₀，y₀），由题意得

x=x0 y= 2 y0

，即

x0=x y0= y 2

，（6分）

代入椭圆得

x2

2

+

y2

2

=1，即x²+y²=2．

即动点的轨迹E的方程为x²+y²=2．（8分）

（3）若直线MN的斜率不存在，则方程为x=1，所以|MN|=

2

≠

8 2

7

．（9分）

所以直线MN的斜率存在，设为k，直线MN的方程为y=k（x-1），

由

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得(

1

2

+k2)x2-2k2x+k2-1=0．（10分）

因为△=2（k²+1）＞0，所以x1，2=

4k2± 2k2+2

2(2k2+1)

．

设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x1+x2=

4k2

1+2k2

，x1x2=

2k2-2

1+2k2

（11分）

所以|MN|=

1+k2

×

(x1+x2)2-4x1x2

=

8 2

7

，

即

1+k2

×

16k4 (1+2k2)2 - 8k2-8 1+2k2

=

8 2

7

，（12分）

解得k=±

3

．（13分）

故直线MN的方程为y=

3

（x-1）或y=-

3

（x-1）（14分）