问题
解答题
已知函数f（x）=ax2+bx+1（a，b为实数），设F（x）=
（1）令a=1，b=2，当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围． （2）设m＞0，n＜0且m+n＞0，a＞0，b=0，求证：F（m）+F（n）＞0． |
答案
（1）令a=1，b=2，则F（x）=
，即F（x）=f(x) (x＞0) -f(x) (x＜0)
．(x+1)2 ， x＞0 -(x+1)2 ， x＜0
由（1）可知f（x）=x2+2x+1，∴g（x）=f（x）-kx=x2+（2-k）x+1．
由于g（x）在[-2，2]上是单调函数，可得
≥2，或 2-k 2
≤-2．2-k 2
解得 k≤-2，或 k≥6，故实数k的取值范围为（-∞，-2]∪[6，+∞）．
（3）由题意可得，f（x）=x2 +1，故有 f（-x）=f（x），F（n）=-f（n）=-f（-n），
∴F（m）+F（n）=f（m）-f（-n）．
由于 m+n＞0，所以 m＞-n＞0．
而f（m）在大于0区间是增函数，所以 f（m）-f（-n）＞0，
即F（m）+F（n）＞0．