已知数列{an}满足a1=2，an+1=2an+3．（1）求{an}的通项公式

问题解答题

已知数列{a_n}满足a₁=2，a_n+1=2a_n+3．

（1）求{a_n}的通项公式；

（2）求数列{na_n}的前n项和S_n．

答案

（1）∵a₁=2，a_n+1=2a_n+3．

∴a_n+1+3=3（a_n+3），a₁+3=5

∴数列{a_n+3}是以5为首项，以2为公比的等比数列

∴an+3=5•2n-1

∴an=5•2n-1-3

（2）∵nan=5n•2n-1-3n

令Tn=1•20+2•21+…+n•2n-1

则2T_n=1•2+2•2²+…+（n-1）•2^n-1+n•2ⁿ

两式相减可得，-T_n=1+2+2²+…+2^n-1-n•2ⁿ=

1-2n

1-2

-n•2ⁿ=2ⁿ-n•2ⁿ-1

∴Tn=(n-1)•2n+1

∴Sn=5(n-1)•2n-

3n2+3n