问题 解答题
已知椭圆
x2
2
+y2=1,其右焦点为F,直线l经过点F与椭圆交于A,B
两点,且|AB|=
4
2
3

(1)求直线l的方程;
(2)求△OAB的面积.
答案

(1)∵椭圆的标准方程为:

x2
2
+y2=1

故c=1

则其右焦点的坐标为F(1,0)

当斜率不存在时,直线l的方程为x=1

此时|AB|=

2b2
a
=
2
,不符合条件;

当斜率存在时,设直线l的方程为y=k(x-1),A(x1,y1),B(x2,y2),

则有

y=k(x-1)
x2
2
+y2=1
得:(1+2k2)x2-4k2x+2k2-2=0

则x1+x2=

4k2
1+2k2
,x1x2=
2k2-2
1+2k2

∴|AB|=

1+k2
(
4k2
1+2k2
)2-4×
2k2-2
1+2k2
=
1+k2
1+2k2
×
8
=
4
2
3

解得k=±1

故直线l的方程为:x+y-1=0或x-y-1=0

(2)原点到直线x+y-1=0或x-y-1=0的距离d=

1
2
=
2
2

故△OAB的面积S=

1
2
×
4
2
3
×
2
2
=
2
3

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单项选择题