问题
解答题
在平面直角坐标系中，已知焦距为4的椭圆C：
过F作一条垂直于x轴的直线与椭圆相交于R、S，若线段RS的长为
（1）求椭圆C的方程； （2）设Q（t，m）是直线x=9上的点，直线QA、QB与椭圆C分别交于点M、N，求证：直线MN必过x轴上的一定点，并求出此定点的坐标． |
答案
（1）依题意，椭圆过点(2，
)，5 3
故
，
+4 a2
=125 9b2 a2-b2=4
解得
．…（3分）a2=9 b2=5
椭圆C的方程为
+x2 9
=1．…（4分）y2 5
（2）设Q（9，m），直线QA的方程为y=
(x+3)，…（5分）m 12
代入椭圆方程，得（80+m2）x2+6x+9m2-720=0，…（6分）
设M（x1，y1），则-3x1=
⇒x1=9m2-720 m2+80
，…（7分）240-3m2 m2+80
y1=
(x1+3)=m 12
(m 12
+3)=240-3m2 m2+80
，40m m2+80
故点M的坐标为(
，240-3m2 m2+80
)．…（8分）40m m2+80
同理，直线QB的方程为y=
(x-3)，m 6
代入椭圆方程，得（20+m2）x2-6x+9m2-180=0，
设N（x2，y2），
则3x2=
⇒x2=9m2-180 m2+20
，3m2-60 m2+20
y2=
(x2-3)=m 6
(m 6
-3)=-3m2-60 m2+20
．20m m2+20
得点N的坐标为(
，-3m2-60 m2+20
)．…（10分）20m m2+20
①若
=240-3m2 m2+80
⇒m2=40时，3m2-60 m2+20
直线MN的方程为x=1，与x轴交于（1，0）点；
②若m2≠40，直线MN的方程为y+
=20m m2+20
(x-10m 40-m2
)，3m2-60 m2+20
令y=0，解得x=1．
综上所述，直线MN必过x轴上的定点（1，0）．…（12分）
