已知数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），点（an，Sn）在直线y=2x-3

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n（n∈N^*），点（a_n，S_n）在直线y=2x-3n上．

（Ⅰ）求证：数列{a_n+3}是等比数列；

（Ⅱ）求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅲ）数列{a_n}中是否存在成等差数列的三项？若存在，求出一组合适条件的三项；若不存在，说明理由．

答案

（Ⅰ）由题意知S_n=2a_n-3n

∴a_n+1=S_n+1-S_n=2a_n+1-3（n+1）-2a_n+3n∴a_n+1=2a_n+3（2分）

∴a_n+1+3=2（a_n+3）

∴

an+1+3

an+3

=2，又a₁=S₁=2a₁-3a₁=3

∴a₁+3=6（4分）

∴数列{a_n+3}成以6为首项以2为公比的等比数列

（Ⅱ）由（I）得a_n+3=b•2^n-1=3•2ⁿ

∴a_n=3•2ⁿ-3

（Ⅲ）设存在s、p、r∈N^*且s＜p＜r使a_s，a_p，a_r成等差数列

∴2a_p=a_s+a_r∴2（3•2^p-3）=3•2^s-3+3•2^r-3∴2^p+1=2^s+2^r（9分）

即2^p-s+1=1+2^r-s（*）

∵s、p、r∈N^*且s＜p＜r

∴2^p-s+1为偶数，1+2^r-s为奇数

∴（*）为矛盾等式，不成立故这样的三项不存在（12分）