问题
解答题
已知数列{an}中，a1=1，anan+1=(
（1）求证：数列{a2n}与{a2n-1}（n∈N*）都是等比数列； （2）求数列{an}前2n的和T2n； （3）若数列{an}前2n的和为T2n，不等式81T2n•a2n≤2（1-ka2n）对（n∈N*）恒成立，求k的最大值． |
答案
（1）∵anan+1=(
)n，1 3
∴
=an+2 an 1 3
∴数列a1，a3，…a2n-1，是以1为首项，
为公比的等比数列；1 3
数列a2，a4，…，a2n，是以
为首项，1 3
为公比的等比数列．1 3
（2）T2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=
+1-(
)n1 3 1- 1 3
=2-2(
[1-(1 3
)n]1 3 1- 1 3
)n1 3
（3）81T2n•a2n≤2（1-ka2n），则81•[2-2(
)n]•(1 3
)n≤2•[1-k(1 3
)n]，1 3
令t=(
)n，则81（1-t）t≤1-kt，kt≤1-81（1-t）t，∵t＞0，k≤81t+1 3
-811 t
又81t+
-81≥21 t
-81=-63，等号当且仅当81t=81
，t=1 t
，1 9
即(
)n=1 3
，n=2时成立．故k≤-63，即k的最大值为-63．1 9