（Ⅰ）证明：(n+2)an+1=

1

2

(n+1)an+

n

2

，…1分

∵b₁=2a₁-1+2=-1，…2分（文3分）

bn+1

bn

=

(n+2)an+1-(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an+ n 2 -(n+1)+2

(n+1)an-n+2

=

1 2 (n+1)an- n 2 +1

(n+1)an-n+2

=

1

2

，

∴数列{b_n}是等比数列． …4分（文6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得bn=-(

1

2

)n-1，即(n+1)an-n+2=-(

1

2

)n-1．

∴an=-

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

． …6分（文13分）

（Ⅲ）∵an-bn=

n

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n+1

，

∴a_n-b_n≤kn，即k ≥ 

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

．

设cn=

1

n+1

(

1

2

)n-1，dn=

n-2

n(n+1)

，en=

1

n+1

(

1

2

)n-1+

n-2

n(n+1)

，

则c_n 随着n的增大而减小，…8分

∵dn+1-dn=

n-1

(n+1)(n+2)

-

n-2

n(n+1)

=

4-n

n(n+1)(n+2)

，

∴n≥5时，d_n+1-d_n＜0，d_n+1＜d_nd_n随着n的增大而减小，…10分

则n≥5时，e_n随着n的增大而减小． …

∵c₁=

1

2

，c₂=

1

6

，c₃=

1

16

，c₄=

1

40

，c₅=

1

96

，

d₁=-

1

2

，d₂=0，d₃=

1

12

，d₄=

1

10

，d₅=

1

10

，

∴e₁=0，e₂=

1

6

，e₃=

7

48

，e₄=

1

8

，e₅=

53

480

．

则e₁＜e₂＞e₃＞e₄＞e₅＞…．∴e₂=

1

6

最大．

∴实数k的取值范围k≥

1

6

． …13分．