问题
解答题
数列{an}是以a为着项，q为公比的等比数列，令bn=1-a1-a2-a3-…-an，Cn=2-b1-b2-b3-…-bn．n∈N*
（1）试用a，q表示bn和cn；
（2）若a＜0，q＞0且q≠1，试比较cn与cn+1的大小；
（3）是否存在实数对（a，q），其中q≠1，使{cn}成等比数列，若存在，求出实数对（a，q）和{cn}的通项公式；若不存在，请说明理由．
答案
（1）当q=1时，an=a，bn=1-na，cn=2+
．n(na+a-2) 2
当q≠1时，an=aqn-1，bn=1-
+a 1-q
，cn=2-(1-aqn 1-q
)n-a 1-q
•a 1-q
=2-q(1-qn) 1-q
+aq (1-q)2
n+q-1+a 1-q aqn+1 (1-q)2
（2）cn+1-cn=-bn+1=-1+
-a 1-q
=-1+aqn+1 1-q
(1-qn+1)，a 1-q
因为1+q+q2+…+qn=
(q≠1)1-qn+1 1-q
由已知q＞0，
1+q+q2+…+qn＞0，即
＞01-qn+1 1-q
又a＜0，则
(1-qn+1)＜0a 1-q
亦即-1+
(1-qn+1)＜0．a 1-q
所以cn+1-cn＜0，即cn+1＜cn；
（3）∵cn=2-
+aq (1-q)2
n-q-1+a 1-q
，aqn+1 (1-q)2
若{cn}成等比数列，则令2-
=0 ①aq (1-q)2
=0 ②q-1+a 1-q
由②得a=1-q，代入①得2-
=0．q 1-q
所以q=
，a=2 3
，此时cn=1 3
×1 3
=(
)n+12 3 (1-
)22 3
(4 3
)n-1．2 3
所以存在实数对（a，q）为(
，1 3
)，使{cn}成为以2 3
为首项，4 3
为公比的等比数列．2 3