问题
解答题
已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，公差为d，Sn 为其前n项和，且满足an2=S2n-1，n∈N*．数列{bn}满足bn=
（1）求数列{an}的通项公式和Tn； （2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn，成等比数列？若存在，求出所有m，n的值；若不存在，请说明理由． |
答案
（Ⅰ）（法一）在an2=S2n-1，令n=1，n=2可得a12=S1 a22=S3
即a12=a1 (a1+d)2=3a1+3d
∴a1=1，d=2
∴an=2n-1
∵bn=
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
（1 2
-1 2n-1
）1 2n+1
∴Tn=
(1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
）=1 2n+1
（1-1 2
）=1 2n+1 n 2n+1
（法二）∵{an}是等差数列，
∴
=ana1+a2n-1 2
∴S2n-1=
×(2n-1)=（2n-1）ana1+a2n-1 2
由an2=S2n-1，得an2=（2n-1）an，
又an≠0，
∴an=2n-1
∵bn=
=1 anan+1
=1 (2n-1)(2n+1)
（1 2
-1 2n-1
）1 2n+1
∴Tn=
(1-1 2
+1 3
-1 3
+…+1 5
-1 2n-1
）=1 2n+1
（1-1 2
）=1 2n+1 n 2n+1
（Ⅱ）∵T1=
，Tm=1 3
，Tn=m 2m+1 n 2n+1
若T1，Tm，Tn，成等比数列，则(
)2=m 2m+1
(1 3
)n 2n+1
即
=m2 4m2+4m+1 n 6n+3
法一：由
=m2 4m2+4m+1
可得，n 6n+3
=3 n
＞0-2m2+4m+1 m2
即-2m2+4m+1＞0
∴1-
＜m＜1+6 2 6 2
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数
法二：∵
=n 6n+3
＜1 6+ 3 n 1 6
∴
＜m 4m2+4m+1 1 6
∴2m2-4m-1＜0
∴1-
＜m＜1+6 2 6 2
∵m∈N且m＞1
∴m=2，此时n=12
∴当且仅当m=2，n=12时，T1，Tm，Tn，成等比数