问题
解答题
已知一次函数y=mx+2m+8与x轴、y轴交于点A、B,若图象经过点C(2,4).
(1)求一次函数的解析式;
(2)过点C作x轴的平行线,交y轴于点D,在△OAB边上找一点E,使得△DCE构成等腰三角形,求点E的坐标;
(3)点F是线段OB(不与点O、点B重合)上一动点,在线段OF的右侧作正方形OFGH,连接AG、BG,设线段OF=t,△AGB的面积为S,求S与t的函数关系式,并写出自变量的取值范围.
答案
(1)把点C(2,4)代入一次函数y=mx+2m+8得:2m+2m+8=4,
解得m=-1,
则一次函数解析式为y=-x+6;
(2)点E在OB上时,E1(0,2),E2(0,6);
作出CD的垂直平分线,交直线AB于E4,交x轴于E3,如图3所示,
可得出点E在OA上时,E3(1,0);
点E在AB上时,E4(1,5);
过E5作E5M⊥CD,△E5MC为等腰直角三角形,
∵E5C=CD=2,
∴E5M=MC=
E5C=2 2
,2
∴E5(2-
,4+2
)2
同理E6(2+
,4-2
);2
(3)分两种情况考虑:
①当0<t<3时,如图1所示;
∵四边形OFGH是正方形,
∴OF=OH=FG=GH=t,AH=BF=OB-OF=6-t,
则S△ABG=S△AOB-S△FBG-S△AHG-S正方形=18-
t(6-t)-1 2
t(6-t)-t2=18-6t;1 2
②当3<t<6时,如图2所示,同理得到S△ABG=S△FBG+S△AHG+S正方形-S△AOB=6t-18.