（1）∵f(

x1+x2

2

)-

f(x1)+f(x2)

2

=a(

x1+x2

2

)2+b(

x1+x2

2

)+c-

ax12+bx1+c+ax22+bx2+c

2

=-

a

4

(x1-x2)2＜0，4分

又∵x₁≠x₂，∴必有a＞0，∴实数a的取值范围是（0，+∞）． 2分

（2）△=16+8a，由（1）知：a＞0，所以△＞0． 由 a＞0，f（1）=a+2＞0

①当0＜a＜6时，总有f（-1）＜0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，

故0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点； 2分

②当a＞6时，

a＞0 -1＜- 4 2a ＜1 f(1)=a+4-2＞0 f(-1)=a-4-2＞0

，即a＞6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点；2分

③当a=6时，有f（-1）=0，f（0）=-2＜0，f（1）＞0，故a=6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点．

综上：0＜a＜6时，f（x）在[-1，1]上有一个零点；a≥6时，f（x）在[-1，1]上有两个零点． 2分

（3）∵f(x)=ax2+4x-2=a(x+

2

a

)2-2-

4

a

，

显然f（0）=-2，对称轴x=-

2

a

＜0．

①当-2-

4

a

＜-4，即0＜a＜2时，M(a)∈(-

2

a

，0)，且f[M（a）]=-4．

令ax²+4x-2=-4，解得x=

-2± 4-2a

a

，

此时M（a）取较大的根，即M(a)=

-2+ 4-2a

a

=

-2

4-2a +2

，

∵0＜a＜2，∴M(a)=

-2

4-2a +2

＞-1． 2分

②当-2-

4

a

≥-4，即a≥2时，M(a)＜-

2

a

，且f[M（a）]=4．

令ax²+4x-2=4，解得x=

-2± 4+6a

a

，

此时M（a）取较小的根，即M(a)=

-2- 4+6a

a

=

-6

4+6a +2

，

∵a≥2，∴M(a)=

-6

4+6a -2

≥-3． 当且仅当a=2时，取等号． 3分

∵-3＜-1，∴当a=2时，M（a）取得最小值-3． 1分．