问题
解答题
对函数f（x）=ax2+bx+c（a≠0），若存在x1，x2∈R且x1＜x2，使得
（1）试判断f（x）=x2+3x+2是否为“可分解函数”，若是，求出A，B的值；若不是，说明理由； （2）用反证法证明：f（x）=x2+x+1不是“可分解函数”； （3）若f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，则求a的取值范围，并写出A，B关于a的相应的表达式． |
答案
（1）∵f（x）=x2+3x+2
∴
=1 f(x)
=1 x2+3x+2
=1 (x+2)(x+1)
+-1 x-(-2) 1 x-(-1)
故函数f（x）=x2+3x+2为“可分解函数”，且A=-1，B=1
（2）假设f（x）=x2+x+1是“可分解函数”，即存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得
=1 f(x)
(1 a
+A x-x1
)=B x-x2 1 x2+x+1
即
(1 a
）=(A+B)x-(Ax2+Bx1) x2-(x1+x2)x+x1•x2
，1 x2+x+1
即
，A+B=0 Ax2+Bx1=-1 x1+x2=-1 x1•x2=1
由于方程组
无解，x1+x2=-1 x1•x2=1
所以假设不真，
故原命题成立．
即f（x）=x2+x+1不是“可分解函数”；
（3）因为f（x）=ax2+ax+4（a≠0），是“可分解函数”，
所以存在x1，x2∈R且x1＜x2，
使得
=1 f(x)
(1 a
+A x-x1
)=B x-x2
(1 a
）=(A+B)x-(Ax2+Bx1) x2-(x1+x2)x+x1•x2
•1 a
，1 x2+x+ 4 a
所以x2+x+
=0有两个不同的实根，所以△=1-4 a
＞016 a
解得：a＞16或a＜0
此时方程x2+x+
=0有两个不同的实根，4 a
且x1=
，x2=-1- 1- 16 a 2 -1+ 1- 16 a 2
代入
解得A+B=0 Ax2+Bx1=-1
A=- a a-16 B= a a-16