问题 解答题
椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C,D两点.当直线l与x轴垂直时,
|CD|
|AB|
=2
2

(Ⅰ)求椭圆的方程;
(Ⅱ)求过点O,F1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(Ⅲ)求
F2A
F2B
的最值.
答案

(Ⅰ)∵椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合,∴c=1

∵过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C,D两点.当直线l与x轴垂直时,∴AB为椭圆通径,CD为抛物线通经,

|CD|
|AB|
=2
2
,∴
4
2b2
a
=2
2
,b2=
2
2
a,∵a2=b2+c2,得a=
2
,b=1,∴所求椭圆方程为
x2
2
+y2=1

(Ⅱ)∵所求圆过点O,F1,可设坐标为(-

1
2
,n),∵圆与椭圆的左准线相切,∴半径r=-
1
2
-(-2)=
3
2

(-
1
2
)
2
+n2
=
3
2
,n=
2
,∴所求圆方程为(x+
1
2
)
2
+(y-
2
)
2
=
9
4

(Ⅲ)设A(x1,y1),B(x2,y2

①当直线l斜率存在时,设方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,得,

x2
2
+k2(x+1)2=1

∴x1x2=

2k2-2
1+2k2
,x1+x2=
-4k2
1+2k2
..
F2A
F2B
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=
7k2-1
1+2k2
=
7
2
--
9
2
1+2k2

∵k2∈[0,+∞),∴

F2A
F2B
∈[-1,
7
2

②当直线l斜率不存在时,可得啊(-1,

2
2
)B(-1,-
2
2
),此时,
F2A
F2B
=
7
2

综上,

F2A
F2B
∈[1,
7
2
].∴
F2A
F2B
最大值为
7
2
,最小值为-1.

单项选择题
多项选择题