问题
解答题
椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合,过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C,D两点.当直线l与x轴垂直时,
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)求过点O,F1,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程; (Ⅲ)求
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答案
(Ⅰ)∵椭圆的中心在原点,其左焦点F1与抛物线y2=-4x的焦点重合,∴c=1
∵过F1的直线l与椭圆交于A,B两点,与抛物线交于C,D两点.当直线l与x轴垂直时,∴AB为椭圆通径,CD为抛物线通经,
∵
=2|CD| |AB|
,∴2
=24 2b2 a
,b2=2
a,∵a2=b2+c2,得a=2 2
,b=1,∴所求椭圆方程为2
+y2=1x2 2
(Ⅱ)∵所求圆过点O,F1,可设坐标为(-
,n),∵圆与椭圆的左准线相切,∴半径r=-1 2
-(-2)=1 2 3 2
∴
=(-
)2+n21 2
,n=3 2
,∴所求圆方程为(x+2
)2+(y-1 2
)2=2
.9 4
(Ⅲ)设A(x1,y1),B(x2,y2)
①当直线l斜率存在时,设方程为y=k(x+1),代入椭圆方程,得,
+k2(x+1)2=1x2 2
∴x1x2=
,x1+x2=2k2-2 1+2k2
..-4k2 1+2k2
•F2A
=(x1-1)(x2-1)+y1y2=F2B
=7k2-1 1+2k2
--7 2 9 2 1+2k2
∵k2∈[0,+∞),∴
•F2A
∈[-1,F2B
)7 2
②当直线l斜率不存在时,可得啊(-1,
)B(-1,-2 2
),此时,2 2
•F2A
=F2B
.7 2
综上,
•F2A
∈[1,F2B
].∴7 2
•F2A
最大值为F2B
,最小值为-1.7 2