问题
解答题
已知A（-3，0），B（3，0）．若△ABC周长为16．
（1）求点C轨迹L的方程；
（2）过O作直线OM、ON，分别交轨迹L于M、N点，且OM⊥ON，求S△MON的最小值；
（3）在（2）的前提下过O作OP⊥MN交于P点．求证点P在定圆上，并求该圆的方程．
答案
（1）由已知：|AC|+|BC|+|AB|=16
∴|AC|+|BC|=10
∴a=5，c=3
∴b2=a2-c2=16
∴点C的轨迹为：
+x2 25
=1(y≠0)y2 16
（2）显然OM，ON斜率均存在．设OM：y=kx，则ON：y=-
x1 k
联立OM与L可知：
+x2 25
=1⇒x2=k2x2 16 1
+1 25 k2 16
∴|OM|=
•|x|=1+k2
同理|ON|=1+k2
+1 25 k2 16
=1+ 1 k2
+1 25 1 16k2 1+k2
k2+1 25 1 16
∴S△MON=
|OM|•|ON|=1 2 1 2
≥(1+k2)2 (
+1 25
)(k2 16
+k2 25
)1 16
•1 2
=1+k2
+1 25
+k2 16
+k2 25 1 16 2 400 41
当且仅当：
+1 25
=k2 16
+k2 25
时取“=”即k=±1时取“=”1 16
∴S△MON的最小值为400 41
（3）由已知：|MN|=
=|OM|2+|ON|2
+1+k2
+1 25 k2 16 1+k2
+k2 25 1 16
∴|OP|=
=|OM|•|ON| |MN|
=
•1+k2
+1 25 k2 16 1+k2
k2+1 25 1 16
+1+k2
+1 25 k2 16 1+k2
+k2 25 1 16
=400 41 20 41 41
∴点P一定在定圆x2+y2=
上．400 41