（1）∵关于x的不等式f（x）＜（2m-1）x+1-m²的解集为（m，m+1），

即不等式x²+（a+1-2m）x+m²+m＜0的解集为（m，m+1），

∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）．

∴x²+（a+1-2m）x+m²+m=x²-（2m+1）x+m（m+1）．

∴a+1-2m=-（2m+1）．

∴a=-2．

（2）由（1）得g(x)=

f(x)

x-1

=

x2-2x+m+1

x-1

=(x-1)+

m

x-1

．

∴φ（x）=g（x）-kln（x-1）=(x-1)+

m

x-1

-kln（x-1）的定义域为（1，+∞）．

∴φ'（x）=1-

m

(x-1)2

-

k

x-1

=

x2-(2+k)x+k-m+1

(x-1)2

．

方程x²-（2+k）x+k-m+1=0（*）的判别式△=（2+k）²-4（k-m+1）=k²+4m．

①当m＞0时，△＞0，

方程（*）的两个实根为x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，

则x∈（1，x₂）时，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，φ'（x）＞0．

∴函数φ（x）在（1，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．

∴函数φ（x）有极小值点x₂．

②当m＜0时，由△＞0，得k＜-2

-m

或k＞2

-m

，

若k＜-2

-m

，则x1=

2+k- k2+4m

2

＜1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＜1，

故x∈（1，+∞）时，φ'（x）＞0，

∴函数φ（x）在（1，+∞）上单调递增．

∴函数φ（x）没有极值点．

若k＞2

-m

时，x1=

2+k- k2+4m

2

＞1，x2=

2+k+ k2+4m

2

＞1，

则x∈（1，x₁）时，φ'（x）＞0；x∈（x₁，x₂）时，φ'（x）＜0；x∈（x₂，+∞）时，φ'（x）＞0．

∴函数φ（x）在（1，x₁）上单调递增，在（x₁，x₂）上单调递减，在（x₂，+∞）上单调递增．

∴函数φ（x）有极小值点x₂，有极大值点x₁．

综上所述，当m＞0时，k取任意实数，函数φ（x）有极小值点x₂；

当m＜0时，k＞2

-m

，函数φ（x）有极小值点x₂，有极大值点x₁．

（其中x1=

2+k- k2+4m

2

，x2=

2+k+ k2+4m

2

）．