问题
解答题
已知椭圆
（Ⅰ）证明：|PF2|的最小值为a-c； （Ⅱ）求椭圆的离心率e的取值范围； （Ⅲ）若椭圆的短半轴长为1，圆F2与x轴的右交点为Q，过点Q作斜率为2的直线l与椭圆交于A、B两点，若OA⊥OB，求椭圆的方程． |
答案
（Ⅰ）证明：设椭圆上任一点Q的坐标为（x0，y0），
Q点到右准线的距离为d=
-x0，a2 c
则由椭圆的第二定义知：
=|QF2| d
，c a
∴|QF2|=a-
x0，又-a≤x0≤a，c a
∴当x0=a时，
∴|QF2|min=a-c．
（Ⅱ）依题意设切线长|PT|=|PF2|2-(b-c)2
∴当且仅当|PF2|取得最小值时|PT|取得最小值，
∴
≥(a-c)2-(b-c)2
（a-c），3 2
∴0＜
≤b-c a-c
，从而解得1 2
≤e＜3 5
；2 2
（Ⅲ）依题意Q点的坐标为（1，0），则直线的方程为y=2（x-1），
与椭圆方程
+y2=1联立方程组，消去y得（4a2+1）x2-8a2x+3a2=0x2 a2
设A（x1，y1）（x2，y2），则有x1+x2=
，x1x2=8a2 4a2+1
，3a2 4a2+1
代入直线方程得y1y2=
，4-4a2 4a2+1
∵OA⊥OB，
∴x1x2+y1y2=0
∴
+3a2 4a2+1
=04-4a2 4a2+1
∴a=2
∴椭圆方程为
+y2=1．x2 4
