设数列{an}的前n项和为Sn，其中an≠0，a1为常数，且-a1、Sn、an+

问题解答题

设数列{a_n}的前n项和为S_n，其中a_n≠0，a₁为常数，且-a₁、S_n、a_n+1成等差数列．

（Ⅰ）求{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=1-S_n，问：是否存在a₁，使数列{b_n}为等比数列？若存在，求出a₁的值；若不存在，请说明理由．

答案

（Ⅰ）依题意，得2S_n=a_n+1-a₁．于是，当n≥2时，有

2Sn=an+1-a1

2Sn-1=an-a1

．

两式相减，得a_n+1=3a_n（n≥2）．

又因为a₂=2S₁+a₁=3a₁，a_n≠0，所以数列{a_n}是首项为a₁、公比为3的等比数列．

因此，a_n=a₁•3^n-1（n∈N^*）；

（Ⅱ）因为Sn=

a1(1-3n)

1-3

a1•3n-

a1，

所以bn=1-Sn=1+

a1-

a1•3n．

要使{b_n}为等比数列，当且仅当1+

a1=0，即a₁=-2．