（1）设M（x，y）

∵

PM

=

1

2

（

PA

+

PB

），

∴2（x+a，y-b）=（a，-2b）+（2a，-b）

∴

2(x+a)=3a 2(y-b)=-3b

，

解得x=

a

2

y=-

b

2

M点坐标为（

a

2

，-

b

2

）

（2）由方程组

y=k1x+p x2 a2 + y2 b2 =1

，消y得方程（a²k_′1+b²）x²+2a²k₁px+a²（p²-b²）=0，

因为直线l₁：y=k₁x+p交椭圆于C、D两点，所以△＞0，即a²k₁²+b²-p²＞0，

设C（x₁，y₁）、D（x₂，y₂），CD中点坐标为（x₀，y₀），

则x₀=

x1+x2

2

=-

a2k1p

a2 k 21 +b2

，y₀=k₁x₀+p=

b2p

a2 k 21 +b2

，由方程组

y=k1x+p y=k2x

，消y得方程（k₂-k₁）x=p，

又因为k₂=-

b2

a2k1

，所以x=

p

k2-k1

=x₀，y=k₂x=y0

故E为CD的中点；

（3）求作点P₁、P₂的步骤：

1°求出PQ的中点E（-

a(1-cosθ)

2

，

b(1+sinθ)

2

），

2°求出直线OE的斜率k₂=

b(1+sinθ) 2

a(1-cosθ) 2

=

b(1+sinθ)

a(1-cosθ)

，

3°由

PP1

+

PP2

=

PQ

，知E为CD的中点，根据（2）可得CD的斜率k₁=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

，

4°从而得直线P₁P₂的方程：y-

b(1+sinθ)

2

=

b(1-cosθ)

a(1+sinθ)

（x+

a(1-cosθ)

2

），

5°将直线CD与椭圆Γ的方程联立，方程组的解即为点P₁、P₂的坐标．

欲使P₁、P₂存在，必须点E在椭圆内，

所以

(1-cosθ)2

4

+

(1+sinθ)2

4

＜1，化简得sinθ-cosθ＜

1

2

，∴sin（θ-

π

4

）＜

2

4

，

又0＜q＜p，所以-

π

4

＜θ-

π

4

＜arcsin

2

4

，

故q的取值范围是（0，

π

4

+arcsin

2

4

）