（1）由

b

2n

-1＜bn-1bn+1＜

b

2n

+1．

因为{b_n}是正整数列，所以bn-1bn+1=

b

2n

．

于是{b_n}是等比数列，

又b₁=1，b₂=λ，所以bn=λn-1（2分）

因为f（x）=x²+x，所以f'（x）=2x+1，

∵a_n+1=f'（a_n）

∴a_n+1=2a_n+1

∴a_n+1+1=2（a_n+1）

∵a₁=3，

∴数列{a_n+1}是以4为首项，以2为公比的等比数列．

∴a_n+1=4×2^n-1=2ⁿ⁺¹

∴an=2n+1-1（5分）

（2）由2（λb_n+c_n-1）=2nλb_n+a_n-1得：cn=λ(n-1)bn+

1

2

(an+1)．

由bn=λn-1及an=2n+1-1得：cn=(n-1)λn+2n（6分）

设Tn=λ2+2λ2+3λ4+…+(n-2)λn-1+(n-1)λn①

λTn=λ3+2λ4+3λ5+…+(n-2)λn+(n-1)λn+1②

当λ≠1时，①式减去②式，得(1-λ)Tn=λ2+λ3+…+λn-(n-1)λn+1=

λ2-λn+1

1-λ

-(n-1)λn+1

于是，Tn=

λ2-λn+1

(1-λ)2

-

(n-1)λn+1

(1-λ)

=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

（8分）

这时数列{a_n}的前n项和Sn=

(n-1)λn+2-nλn+1+λ2

(1-λ)2

+2n+1-2（9分）

当λ=1时，Tn=

n(n-1)

2

．这时数列{a_n}的前n项和Sn=

n(n-1)

2

+2n+1-2（10分）

（3）证明：通过分析，推测数列{

cn+1

cn

}的第一项

c2

c1

最大，

下面证明：

cn+1

cn

＜

c2

c1

=

λ2+4

2

，n≥2③（11分）

由λ＞0知c_n＞0要使③式成立，只要2cn+1＜(λ2+4)cn(n≥2)，

因为(λ2+4)cn=(λ2+4)(n-1)λn+(λ2+1)2n＞4λ•(n-1)λn+4×2n=4（n-1）λⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²≥2nλⁿ⁺¹+2ⁿ⁺²=2c_n+1，n≥2． 所以③式成立．

因此，存在k=1，使得

cn+1

cn

≤

ck+1

ck

=

c2

c1

对任意n∈N^*均成立．（14分）