问题
解答题
已知二次函数f（x）=ax2+bx+c，a，b，c为实数，且当|x|≤1时，恒有|f（x）|≤1；
（I） 证明：|c|≤1；
（II）证明：|a|≤2；
（III）若g（x）=λax+b（λ＞1），求证：当|x|≤1时，|g（x）|≤2λ．
答案
（I）∵当|x|≤1时，
恒有|f（x）|≤1；
∴|f（0）|≤1，
∴c≤1
（II）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c，
∴2a=f（1）+f（-1）-2f（0）
又∵|x|≤1时，|f（x）|≤1，
∴|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，
|f（0）|≤1，
∴|2a|=|f（1）+f（-1）-2f（0）|≤|f（1）|+|f（-1）|+2|f（0）|≤4，
∴|a|≤2．
（III）∵f（0）=c，f（1）=a+b+c，f（-1）=a-b+c
由
得f(0)=c f(1)=a+b+c f(-1)=a-b+c a=
[f(1)+f(-1)]-f(0)1 2 b=
[f(1)-f(-1)]1 2 c=f(0)
∴g(1)=λa+b=λ•
[f(1)+f(-1)]-λf(0)+1 2
[f(1)-f(-1)]=1 2
f(1)+λ+1 2
f(-1)-λf(0)g(-1)=-λa+b=-λ•λ-1 2
[f(1)+f(-1)]+λf(0)+1 2
[f(1)-f(-1)]1 2
=
f(1)-1-λ 2
f(-1)+λf(0)，1+λ 2
∵λ≥1，|f（1）|≤1，|f（-1）|≤1，|f（0）|≤1，
∴|g(1)|=|
f(1)+λ+1 2
f(-1)-λf(0)|≤λ-1 2
+λ+1 2
+λ=2λ，λ-1 2
∴|g(-1)|=|
f(1)-λ-1 2
f(-1)+λf(0)|≤λ+1 2
+λ-1 2
+λ=2λ．λ+1 2