问题 选择题
过抛物线y2=4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点,点O是坐标原点,若|AF|=5,则△AOB的面积为(  )
A.5B.
5
2
C.
3
2
D.
17
8
答案

根据题意,抛物线y2=4x的焦点为F(1,0).

设直线AB的斜率为k,可得直线AB的方程为y=k(x-1),

y=k(x-1)
y2=4x
消去x,得y2-
4
k
y-4=0,

设A(x1,y1)、B(x2,y2),由根与系数的关系可得y1y2=-4.

根据抛物线的定义,得|AF|=x1+

p
2
=x1+1=5,解得x1=4,

代入抛物线方程得:y12=4×4=16,解得y1=±4,

∵当y1=4时,由y1y2=-4得y2=-1;当y1=-4时,由y1y2=-4得y2=1,

∴|y1-y2|=5,即AB两点纵坐标差的绝对值等于5.

因此△AOB的面积为:

S=△AOB=S△AOF+S△BOF=

1
2
|OF|•|y1|+
1
2
|OF|•|y2|=
1
2
|OF|•|y1-y2|=
1
2
×1×5=
5
2

故选:B

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