问题
解答题
| 已知数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}的前n项和为Tn，{bn}为等差数列且各项均为正数，a1=1，an+1=2Sn+1(n∈N*)，b1+b2+b3=15 （1）求数列{an}的通项公式； （2）若a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，求
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答案
（1）a2=2S1+1=3=3a1，
当n≥2时，an+1-an=（2Sn+1）-（2Sn-1+1）=2an，（3分）
∴an+1=3an，即
=3，an+1 an
∴数列{an}是首项a1=1，公比为3的等比数列，（4分）
从而得：an=3n-1；（6分）
（2）设数列{bn}的公差为d（d＞0），
∵T3=15，∴b2=5，
依题意a1+b1，a2+b2，a3+b3成等比数列，
则有(a2+b2)2=(a1+b1)(a3+b3)，
又a2=3，b1=b2+d=5-d，b3=b2+d=5+d，
∴64=（5-d+1）（5+d+9），
解得：d=2或d=-10（舍去），（8分）
∵b1=5-d=5-2=3，
∴Tn=3n+
×2=n2+2n，（10分）n(n-1) 2
∵
=1 Tn
（1 2
-1 n
），1 n+2
则
+1 T1
+…+1 T2 1 Tn
=
[(1 2
+1 1
+…+1 2
)-(1 n
+1 3
+…+1 4
)]1 n+2
=
[(1 2
+1 1
)-(1 2
+1 n+1
)]=1 n+2
-3 4
．（13分）2n+3 2(n+1)(n+2)