在递增数列{an}中，Sn表示数列{an}的前n项和，a1=1，an+1=an+

问题解答题

在递增数列{a_n}中，S_n表示数列{a_n}的前n项和，a₁=1，a_n+1=a_n+c（c为常数，n∈N^*），且a₁，a₂，S₃成等比数列．
（Ⅰ）求c的值；
（Ⅱ）若bn+an=2•(-

)n，n∈N^*，求b₂+b₄+…+b_2n．

答案

（Ⅰ）a_n+1=a_n+c，a₁=1，移向，a_n+1-a_n=c，c为常数，所以数列{a_n}为等差数列，

其通项公式为a_n=1+（n-1）c．

则a₂=1+c，S₃=1+（1+c）+（1+2c）=3+3c．…（3分）

又a₁，a₂，S₃成等比数列，所以（1+c）²=3+3c，解得c=-1或c=2．

由于{a_n}是递增数列，舍去c=-1，故c=2．…（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得a_n=2n-1，n∈N^*．

所以bn=2•(-

)n-(2n-1)，b2n=2•(-

)2n-(4n-1)．…（8分）

从而 b₂+b₄+…+b_2n=

[1-(

)n]

n(3+4n-1)

(1-

)-2n2-n，n∈N^*．…（13分）