问题
解答题
在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2=8x的焦点为F．椭圆Σ的中心在坐标原点，离心率e=
（1）求椭圆Σ的标准方程； （2）设A1A2是椭圆Σ的长轴（A1在A2的左侧），P是抛物线C在第一象限的一点，过P作抛物线C的切线，若切线经过A1，求证：tan∠A1PA2=
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答案
（1）依题意，设椭圆Σ的标准方程为
+x2 a2
=1（a＞b＞0），y2 b2
2p=8，所以p=4，
=2，F（2，0），c=2，p 2
又e=
=c a
，所以a=4，b2=a2-c2=12，1 2
所以椭圆Σ的标准方程为
+x2 16
=1；y2 12
（2）证明：抛物线C在第一象限的部分可看作函数y=
=28x
•2
（x＞0）的图象，x
依题意，不妨设P(
，y0)（y0＞0），y02 8
因为y/=2
•2
=1 2 x
，2 x
所以切线PA1的斜率kPA1=y/|x=x0=
，PA1：y-y0=4 y0
(x-4 y0
)，y02 8
由（1）得A1（-4，0），代入解得y0=4
，则P(4，42
)，A2（4，0），∴PA2⊥A1A2，2
在Rt△PA1A2中，A1A2=8，PA2=4
，∠PA2A1是直角，所以tan∠A1PA2=2
=A1A2 PA2
．2