已知数列{an}的前n项和为Sn，a1=2，2an+1+3Sn=3n+4（n∈N

问题解答题

已知数列{a_n}的前n项和为S_n，a₁=2，2a_n+1+3S_n=3n+4（n∈N^*）．

（Ⅰ）求证：数列{a_n-1}是等比数列，并求数列{a_n}的通项公式；

（Ⅱ）设b_n=λa_n-λ-n²，若b_2n-1＞b_2n恒成立，求实数λ的取值范围．

答案

（Ⅰ）由2a_n+1+3S_n=3n+4，得2a_n+3S_n-1=3n+1（n≥2），

两式相减得2a_n+1-2a_n+3（S_n-S_n-1）=3，即2a_n+1+a_n=3，（2分）

∴a_n+1=-

a_n+

，则a_n+1-1=-

（a_n-1），（4分）

由a₁=2，又2a₂+3S₁=7，得a₂=

，则

a2-1

a1-1

，

故数列{a_n-1}是以1为首项，-

为公比的等比数列．

则a_n-1=（a₁-1）（-

）^n-1，

∴a_n=（-

）^n-1+1，（6分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）得，b_n=λ[（-

）^n-1+1]-λ-n²=λ（-

）^n-1-n²．

由题意得b_2n-1＞b_2n，则有λ（-

）^2n-2-（2n-1）²＞λ（-

）^2n-1-（2n）²，

即λ（-

）^2n-2[1-（-

）]＞（2n-1）²-（2n）²，

∴λ＞-

(4n-1)•4n

，（10分）

而-

(4n-1)•4n

对于n∈N^*时单调递减，则-

(4n-1)•4n

的最大值为-

(4-1)4

=-2，

故λ＞-2．（12分）