（1）证明：∵二次函数f（x）=ax²+x

∴任取x₁，x₂∈k，则f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]=a（

x1+x2

2

）²+

x1+x2

2

-

1

2

（a

x

21

+x1+a

x

22

+x2）=-

1

2

a(x1-x2)2

∵a＞0，(x1-x2)2≥0，∴

1

2

a(x1-x2)2≥0

∴f(

x1+x2

2

)-

1

2

[f(x1)+f(x2)]≤0

∴f(

x1+x2

2

)≤

1

2

[f(x1)+f(x2)]

∴当a＞0时，函数f（x）的凹函数；

（2）由-1≤f（x）=ax²+x≤1，则有ax²≥-x-1且ax²≤-x+1．

（i）若x=0时，则a∈k恒成立，

（ii）若x∈（0，1]时，有 a≥-

1

x

-

1

x2

且a≤-

1

x

+

1

x2

∴a≥-

1

x

-

1

x2

=-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

且a≤-

1

x

+

1

x2

=（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

，

∵0＜x≤1，∴

1

x

≥1．

∴当

1

x

=1时，-（

1

x

+

1

2

）²+

1

4

的最4值为-（1+

1

2

）²+

1

4

=-2，（

1

x

-

1

2

）²-

1

4

的最小值为（1-

1

2

）²-

1

4

=0

∴0≥a≥-2．

综（i）（ii）知，0≥a≥-2