问题
解答题
已知抛物线C：y2=4x，过点A（x0，0）（其中x0为常数，且x0＞0）作直线l交抛物线于P，Q（点P在第一象限）；
（1）设点Q关于x轴的对称点为D，直线DP交x轴于点B，求证：B为定点；
（2）若x0=1，M1，M2，M3为抛物线C上的三点，且△M1M2M3的重心为A，求线段M2M3所在直线的斜率的取值范围．
答案
（1）证明：设P（x1，y1），Q（x2，y2），则D（x2，-y2），直线PD的方程为y-y1=
(x-x1)，y1+y2 x1-x2
令y=0，x=
=x2y1+x1y2 y1+y2
=
•y1+y22 4
•y2y12 4 y1+y2
，y1y2 4
设l：y=k（x-x0），代入抛物线方程，得到ky2-4y-4kx0=0，∴y1y2=-4x0
∴x=x0，即B（x0，0）为定点；
（2）A（1，0），设lM1M2：y=kx+m，M1（x1′，y1′），M2（x2′，y2′），M3（x3′，y3′），M2M3中点E（xE′，yE′），
lM1M2：y=kx+m代入抛物线方程，可得k2x2+（2km-4）x+m2=0，
∴x1′+x2′=
，4-2km k2
∴y1′+y2′=
，4 k
∴E（
，2-km k2
），2 k
∵2
=EF
，∴M1（3-FM1
，-4-2km k2
），4 k
∵M1在抛物线y2=4x上，
∴
=4(3-16 k2
)4-2km k2
∴3k2+2km=8，
又△＞0得16-16km＞0，∴km＜1，
∴2km=8-3k2＜2，
∴k2＞2，
∴k＞
或k＜-2
．2