问题
解答题
已知椭圆E：
（1）求椭圆E的方程； （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值． |
答案
（1）∵椭圆E：
+x2 a2
=1（a＞y2 3
）的离心率e=3
，1 2
∴
=a2-3 a
，解得a=2．1 2
∴椭圆E的方程为
+x2 4
=1；y2 3
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
，得y2=x=t
+x2 4
=1y2 3
．12-3t2 4
∴圆C的半径为r=
．12-3t2 2
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜
，即0＜t＜12-3t2 2
．2 21 7
∴弦长|AB|=2
=2r2-d2
=
-t212-3t2 4
．12-7t2
∴△ABC的面积S=
•t•1 2
=12-7t2
×(1 2 7
t)•7 12-7t2
≤
×1 2 7
=(
t)2+12t-7t27 2
．3 7 7
当且仅当
t=7
，即t=12-7t2
时等号成立．42 7
所以△ABC的面积的最大值为
．3 7 7