问题
解答题
已知椭圆E：
（1）求椭圆E的方程； （2）若圆C与y轴相交于不同的两点A，B，求△ABC的面积的最大值． |
答案
（1）∵椭圆E：
| x2 |
| a2 |
| y2 |
| 3 |
| 3 |
| 1 |
| 2 |
∴
| ||
| a |
| 1 |
| 2 |
∴椭圆E的方程为
| x2 |
| 4 |
| y2 |
| 3 |
（2）依题意，圆心C（t，0）（0＜t＜2）．
由
|
| 12-3t2 |
| 4 |
∴圆C的半径为r=
| ||
| 2 |
∵圆C与y轴相交于不同的两点A，B，且圆心C到y轴的距离d=t，
∴0＜t＜
| ||
| 2 |
2
| ||
| 7 |
∴弦长|AB|=2
| r2-d2 |
|
| 12-7t2 |
∴△ABC的面积S=
| 1 |
| 2 |
| 12-7t2 |
| 1 | ||
2
|
| 7 |
| 12-7t2 |
≤
| 1 | ||
2
|
(
| ||
| 2 |
3
| ||
| 7 |
当且仅当
| 7 |
| 12-7t2 |
| ||
| 7 |
所以△ABC的面积的最大值为
3
| ||
| 7 |